Soal dan penyelesaian gelombang mekanik

Soal 1: Sebuah gelombang berjalan memenuhi persamaan y = 0,20 sin 0,40π(60t – x) dengan x dan y dalam cm dan t dalam sekon. Tentukan (a) arah perambatan gelombang, (b) amplitudo gelombang, (c) frekuensi gelombang, (d) panjang gelombang, dan (e) cepat rambat gelombang!

Solusi:
Kita mengubah bentuk y = 0,20 sin 0,40π(60t – x) menjadi y = 0,20 sin (24πt – 0,40πx), agar sama dengan bentuk y = A sin (ωt – kx), maka dengan menyamakan kedua persamaa kita peroleh
(a) tanda dalam sinus adalah negatif, maka arah perambatan gelombang adalah ke kanan.
(b) amplitudo A = 0,20 cm
(c) ω =  24π rad/s, oleh karena ω = 2πf maka,
f = ω/2π = 24π/2π = 12 Hz
(d) k = 0,40π/m. Oleh karena k = 2π/λ, maka
2π/λ = 0,40π
λ = 5 cm
(e) cepat rambat gelombang v adalah
v = λf = (5 cm)(12 Hz) = 60 cm/s

Soal 2
Sebuah gelombang berjalan dari titik A ke titik B dengan kelajuan 5 m/s. periode gelombang tersebut adalah 0,4 s. jika selisih face antara A dan B adalah 6π/5  , tentukanlah jarak AB.

Solusi:
Diketahui :
Kelajuan gelombang v = 5 m/s.
Periode gelombang T = 0,4 s.

Beda face antara dua titik dinyatakan dengan persamaan
∆φ = 2π/(vT) (x₁ – x₂) = (2π/vT) ∆x
∆x = (∆φ/2π) vT={(6π/5)/2π} × 5 × 0,4 = 1,2
Dengan demikian, jarak AB sebesar 1,2 meter.

Soal 3
Perahu jangkar tampak naik-turun dibawa oleh gelombang air laut. Waktu yang diperlukan untuk satu gelombang adalah 4 sekon, sedangkan jarak dari puncak gelombang berikutnya adalah 25 m. jika amplitudo gelombang 0,5 m, tentukanlah: (a) Frekuensi gelombang air laut, (b) laju rambat gelombang air laut, (c) jarak yang ditempuh partikel air laut, (d) laju maksimum partikel air laut di permukaan.

Solusi:
(a) frekuensi gelombang air laut
f = 1/T = ¼ = 0,25 Hz.
(b) Laju rambat gelombang air laut
v = λ/T = 25/4 = 6,25 m/s
(c) Laju maksimum partiker air laut di permukaan
y = A sin⁡ωt

y = A sin (2π/T)t

v = dy/dt = A(2π/T) cos (2π/T)t
(d) Untuk laju maksimum, maka cos (2π/T)t = 1, jadi
v = A(2π/T) = 0,5 × (2π/4) = π/4  m/s

Soal 4
Ujung seutas tali digetarkan harmonik dengan periode 0,5 sekon dan amplitudo 6 cm. Getaran ini merambat ke kanan sepanjang tali dengan cepat rambat 200 cm/s. Tentukan: (a) Persamaan umum gelombang, (b) simpangan, kecepatan, dan percepatan partikel di P yang berada 27,5 cm dari ujung tali yang digetarkan pada saat ujung getar telah bergetar 0,2 sekon, (c) sudut fase dan fase partikel di P saat ujung getar telah bergetar 0,2 sekon, dan (d) benda fase antara dua partikel sepanjang tali yang berjarak 25 cm.

Solusi:
(a) periode T = 0,5 s; amplitudo A = 6 cm, cepat rambat v = 200 cm/s. persamaan umum gelombang berjalan, y, yang merambat ke kanan , dan dianggap titik asal getaran, O, mula-mula di getarkan ke atas adalah sesuai dengan Persamaan (2-3c)
 y = +A sin⁡(ωt – kx)
 ω = 2π/T = 2π/0,5 = 4π rad/s
Untuk menetukan k kita cari dahuu panjang gelombang, λ, dengan persamaan (2-2).
V = λ/T ↔ λ = vT = (200 cm/s)(0,5 s) = 100 cm
k = 2π/λ = 2π/(100 cm) = 0,02π cm^-1
Dengan demikian, persamaan simpangan umum gelombang
Y = 6 sin (4πt – 0,02πx)
Y dan x dalam cm dan t dalam s.

(b) jarak partikel ke titik asal getaran x = 27,5 cm
lama titik asal telah bergetar t = 0,2 s supaya hitungan sudut fase partikel di P, θ_p, tidak diulang-ulang, mari kita hitung sekali saja seperti berikut ini,
θ_P = (4πt – 0,02πx) = 4π(0,2) – 0,02π(27,5) = 0,25π = 45⁰
Simpangan partikel di P, y_p
y_p = 6 sin (4πt – 0,02πx) = 6 sin⁡45⁰ = 6 (1/2 √2) = 3√2  cm
kecepatan partikel di P, y_p
v_y = dy/dt = d/dt (6 sin (4πt – 0,02πx)) = 24π cos (4πt – 0,02πx)
v_y = 24π cos 45⁰ = 24π(1/2 √2) = 12π√2  cm/s
percepatan partikel di P, y_p
a_y = dv/dt = d/dt (24π cos(4πt – 0,02πx)) = -96π²  sin (4πt – 0,02πx)
a_y = -96π²  sin 45⁰ = -96π² (1/2 √2)= -48π² √2  cm/s²

(c) sudut fase di titik P, θ_P
θ_P = π/4  rad atau 45⁰  (telah dihitung pada a)
Fase P, φ_P,
φ_P = θ_P (rad))/2π = (π/4)/2π = 1/8

 d) jarak antara dua partikel ∆x = 25 cm.

Beda fase, Δφ
Δφ = Δx/λ = (25 cm)/(100 cm) = 1/4

Soal 5
Persamaan dari suatu gelombang transversal yang merambat sepanjang seutas kawat dinyatakan oleh
y = (2,0 mm)  sin [(20 m^-1)x – (600 s^-1)t]. Hitunglah: (a) cepat rambat gelombang dan (b) kelajuan maksimum sebuah partikel dalam kawat

Solusi:
(a) mari kita samakan simpangan gelombang, y, yang diperoleh dari rumus umum gelombang dan yang diberikan dalam soal. Rumus y = A sin (ωt – kx) atau y = -A sin (kx-ωt) diberikan
Y = (2,0 mm)  sin⁡[(20 m^-1)x – (600 s^-1)t]
Dengan demikian,
A = 2,0 mm; k = 20 m^-1 dan ω = 600 s^-1
Karena cepat rambat, v = λf, maka kita harus menghitung λ dan f terlebih dahulu
K = 2π/λ ⇔ λ = 2π/k = 2π/(20 m^-1) = π/10  m
ω = 2πf ⟺ f = ω/2π = 600 s^-1/2π = 300/π  s^-1
v = λf = (π/10  m)(300/π  s^-1) = 30 m/s

(b) kelajuan partikel dalam kawat, v_y
v_y = dy/dt = d/dt{(2,0 mm)  sin [(20 m^-1)x – (600 s^-1)t]}
= (2,0 mm){-(600 s^-1) cos [(20 m^-1)x – (600 s^-1)t]}
v_y = (-1200 mm s^-1)cos [(20 m^-1) x – (600 s^-1)t]}
v_y,maks = 1200 mm/s

Soal 6

Suatu gelombang sinusoidal dengan frekuensi 500 Hz memiliki cepat rambat 350 m/s. (a) Berapa jarak pisah antara dua titik yang berbeda fase π/3  rad? dan (b)Berapa beda fase pada suatu partikel yang berbeda fase 1,00 ms?

Solusi:
Gelombang berjalan, frekuensi f = 500 Hz; cepat rambat = 350 m.s^-1.
(a) Jarak pisah, ∆x antara dua titik pada waktu t yang sama yang berbeda sudut fase ∆θ = π/3 rad, dapat dihitung dari persamaan
Δφ = Δx/λ  ⟺ Δx = λ.Δφ
Panjang gelombang dihitung dari f dan v.
v = λf ⟹ λ = v/f = (350 m/s)/(500 Hz) = 7/10  m
Beda fase Δφ, dihitung dari sudut fase, ∆θ
Δφ = Δθ(rad)/2π = (π/3)/2π = 1/6
Dengan demikian jarak pisah ∆x adalah
Δx = λ.Δφ = (7/10 m)(1/6) = 7/60 m

(b) Anggap gelombang merambat ke kanan maka persamaan umum simpangan y dapat dinyatakan sebagai
Y = A sin 2π(t/T- x/λ) dengan fase  φ = t/T – x/λ  partikel berada pada titik yang sama, berarti x₁ = x₂ partikel tersebut berbeda waktu 1,0 ms, berarti
t₁ – t₂ = 1,0 ms à t₂ – t₁ = – 1,0 ms = – 1,0 x 10^-3 s
beda fase Δφ pertikel yang berbeda waktu,
Δφ = φ₂ – φ₁ = (t₂/T – x₂/λ) – (t₁/T – x₁/λ)
Δφ = t₂/T – t₁/T = Δt/T = Δt.f = (-1,0 × 10^-3 s)(500 Hz) = -1/2

Share :