Momen Inersia

Pada hukum I Newton kita telah memahami bahwa setiap benda mempunyai kecendrungan untuk tetap diam atau bergerak lurus beraturan (mempertahankan posisi atau keadaannya).
Kecendrungan ini dinamakan inersia ukuran yang menyatakan kecendrungan ini dinamakan massa.

Dalam gerak rotasi tiap-tiap benda mempunyai kecendrungan untuk mempertahankan posisi atau keadaannya. Misalnya rotasi bumi (perputaran bumi pada sumbunya), dari semenjak bumi diciptakan hingga sekarang bumi senantiasa berotasi dan tidak pernah berhenti (jika bumi berhenti berotasi berarti suatu bencana karena tidak ada pertukaran siang dan malam lagi). Kecendrungan seperti ini dinamakan inersia rotasi. Ukuran untuk menyatakan besarnya kecendrungan ini kita namakan momen inersia.

Berbeda dengan massa benda yang hanya tergantung pada jumlah kandungan zat di dalam benda tersebut, momen inersia di samping tergantung pada jumlah kandungan zat (massa benda) juga tergantung pada bagaimana zat-zat atau massa ini terdistribusi. Semakin jauh distribusi massa dari pusat rotasi semakin besar momen inersianya.

Momen Inersia Partikel

Momen inersia, I, suatu partikel atau benda titik terhadap sumbu putarnya di definisikan sebagai perkalian massa partikel, m dengan kuadrat jarak partikel r dari sumbu putar.

Momen inersia dari sistem beberapa partikel dapat dihitung dengan menjumlahkan momen inersia tiap-tiap partikel.

Satuan momen inersia adalah kg.m².

Contoh soal

Tiga buah massa m_A (2 kg), m_B (1 kg) dan m_C (1 kg) diletakan pada sebuah segitiga sama kaki dengan ukuran seperti pada gambar. Hitunglah momen inersia sistem terhadap sumbu putar berikut ini:

(a) Melalui massa A dan B
(b) Melalui titik D tegak lurus bidang xy
 
Jawab:
(a) Jika sumbu putar melalui A dan B:
Dalam kasus ini massa pada A dan B tidak memberi kontribusi pada momen inersia karena kedua massa ini dilalui sumbu putar. Momen inersia hanya berasal dari massa di titik C. rc = 2 m adalah jarak sumbu putar dengan mc. maka

 (b) buktikan sendiri!

 

Momen Inersia Benda Tegar

Momen inersia benda tegar terhadap suatu sumbu putar didefinisikan sebagai jumlah momen inersia setiap partikel dalam benda itu.

Karena benda tegar mempunyai struktur kontinu (atom-atomnya sangat berdekatan sehingga dapat dikatakan saling bersambungan) maka rumus jumlah itu boleh diganti dengan rumus integral.

Dengan dm menyatakan elemen kecil dari benda yang terletak pada jarak r dari sumbu putar. Untuk membutikkan ini kita hitung momen inersia suatu batang yang diputar di pusat massanya.

Gambar sebuah batang pejal panjang L dan massa M yang berputar melalui titik tengahnya. Jika batang ini di bagi 10 bagian dan masing-masing bagian panjangnya L/10 dan massanya M/10. Jika kita namakan ke 10 batang itu dengan 1,2,3, …,10 maka jarak batang-batang ini ke sumbu putar adalah r₁ = r₁₀ = 0,45L; r₂ = r₉ = 0,35L; r₃ = r₈ = 0,25L; r₄ = r₇ = 0,15L; r₅ = r₆ 0,05L. Selanjutnya kita hitung momen inersia ke 10 keping ini yaitu:

Jika dibagi kepng menjadi bagian-bagian yang lebih kecil lagi, kita akan memperoleh besarnya I hampir mendekati 1/12 ML². Hasil ini dapat diperoleh dengan rumus intergral seperti ditunjukkan di bawah ini.

Gambar di samping menggambarkan teknik perhitungan momen inersia dengan metode integral. Pada gambar kita memilih sembarang elemen dengan massa dm dan jaraknya r dari sumbu putar. Jika panjang elemen dr maka dengan menggunakan rumus integral kita peroleh:

Jika r = 0 adalah tengah-tengah batang maka batas integral adalah dari r = -L/2 sampai r = L/2. Sehingga besar momen inersia batang adalah:

 

tabel di bawah ini merupakan benbagai bentuk benda dengan momen inersianya jika benda diputar pada sumbu putar seperti pada gambar.Teorema sumbu Sejajar

Dalam fisika, teorema sumbu sejajar atau teorema Huygens-Steiner dapat digunakan untuk menentukan momen inersia sebuah benda tegar di terhadap sumbu apapun, bila diketahui momen inersia suatu objek terhadap sumbu yang melalui pusat massa yang sejajar dengan sumbu pertama, serta jarak tegaklurus antara kedua sumbu tersebut.

Misalkan:
I_cm melambangkan momen inersia suatu objek terhadap pusat massanya
M adalah massa objek dan d jarak tegaklurus antara kedua sumbu
Maka momen inersia di sekitar sumbu baru z diberikan oleh:

 

Contoh soal:
Hitung momen inersia suatu batang yang diputar pada suatu sumbu yang melalui satu titik di ujung batang. Anggap panjang batang L dan massa batang M. (lihat gambar atas)

jawab:
pusat massa batang terletak pada tengah-tengah batang, sehingga jarak pusat massa terhadap sumbu putar d = 1/2L. Karena momen inersia terhadap pusat massa

 

Maka momen inersia terhadap salah satu ujung batang adalah 

 

Share :