Soal dan Pembahasan Gelombang Stasioner

Soal 1
Getaran dari sebuah pegas yang panjangnya 60 cm ditampilkan oleh persamaan berikut.

y = 4 cm cos (πx/15) sin(100πt)

(a) tentukan simpangan maksimum suatu partikel pada x = 5 cm, (b) tentukan letak simpul-simpul sepanjang pegas, (c) berapakah kelajuan partikel pada x = 5 cm dan t = 1/6 s? dan (d) tuliskan persamaan dari gelombang-gelombang komponen yang superposisinya memberikan gelombang stasioner tersebut.

Jawab:
Persamaan gelombang ini y = 4 cm cos(πx/15) sin(100πt) sama dengan bentuk ini y = A cos(kx) sin(ωt) untuk ujung bebas, dan k = π/15 cm^-1, ω = 100π rad/s, maka:
(a) amplitudo maksimumnya adalah A_s = 4 cm cos(πx/15) pada x = 5 cm, maka
A_s = 4 cm cos(πx/15)
     = 4 cm cos(5π/15)
A_S = 2 cm

(b) letak simpul-simpul sepanjang pegas, k = 2π/λ → λ = 30 cm, sehingga letak simpul-simpulnya adalah
x_n+1 = (2n + 1)λ/4
x_n+1 = (2n + 1)(30 cm/4) = 7,5(2n + 1) cm
letak simpul ke-1, 2, 3 dast, adalah  x₁ = 7,5 cm, x₂ = 22,5 cm, x₂ = 37,5 cm, x₄ = 52,5 cm, dst!

(c) kelajuan partikel pada x = 5 cm dan t = 1/6 s.
persamaan kelajuannya adalah
v_y = dy/dt = 4 cm x 100π cos (πx/15) cos (100πt)
v_y = 400π cm cos (πx/15) cos (100πt)
maka pada t = 1/6 s dan x = 5 cm, adalah
v_y = 400π cm cos (5π/15) cos (100π/6)
    = 400π cm(1/2)(–1/2)
v_y = 100π cm/s

(d) persamaan dari gelombang-gelombang komponen yang superposisinya memberikan gelombang stasioner tersebut adalah,
y₁= A sin (kx – ωt) = 4 cm sin (πx/15  – 100πt) gelombang datang
dan y₂= –A sin (kx + ωt) = –4 cm sin (πx/15  + 100πt) gelombang pantul

Soal 2
Dua gelombang menjalar dalam arah yang berlawanan dan menghasilkan suatu gelombang stasioner. Simpangan kedua gelombang dinyatakan oleh bersamaan berikut:

y₁ = 4 sin (πx/6 – 2t) dan

y₂ = 4 sin (πx/6 + 2t) dengan x dan y dalam cm

Tentukan: (a) simpangan maksimum getaran pada x = 23 cm, (b) letak perut dan simpul, (c) letak perut dan simpul ke-4

Jawab:
Dua persamaan gelombang y₁ = 4 sin (πx/6 – 2t) dan y₂ = 4 sin (πx/6 + 2t) hasil superposisi kedua gelombang adalah
y = y₁ + y₂
y = 4 sin (πx/6 – 2t) + 4 sin (πx/6 + 2t)
   = 2 x 4 sin(πx/6) cos(2t)
y = 8 cm sin(πx/6) cos(2t) ujung terikat

(a) simpangan maksimum getaran pada x = 23 cm adalah
A_s = 8 cm sin(πx/6)
     = 8 cm sin(23π/6)
A_s = –4 cm

(b) letak perut dan simpul, karena k = 2π/λ = π/6 → λ = 12 cm
letak simpul:
x_n+1 = (2n)λ/4
x_n+1 = (2n)(12 cm/4) = 6n cm
letak simpul ke-1, 2, 3 dast, adalah  x₁ = 0 cm, x₂ = 6 cm, x₃ = 12 cm, dst!
letak perut:
x_n+1 = (2n + 1)λ/4
x_n+1 = (2n + 1)(12 cm/4) = 3(2n + 1) cm
letak simpul ke-1, 2, 3 dast, adalah  x₁ = 3 cm, x₂ = 9 cm, x₃ = 15 cm, dst!

(c) letak perut dan simpul ke-4 adalah
 perut ke-4: n = 3, x_n+1 = (2n + 1)(12 cm/4) = 3(2n + 1) cm = 21 cm
 simpul ke-4: n = 3, x_n+1 = (2n)(12 cm/4) = 6n cm = 18 cm

Soal 3
Seutas kawat yang panjangnya 100 cm direntangkan horizontal. Salah satu unjungnya digetarkan harmonik naik-turun dengan frekuensi 1/8  Hz dan amplitudo 16 cm, ujung lainnya terikat. Getaran harmonik tersebut merambat ke kanan sepanjang kawat dengan cepat rambat 4,5 cm/s. tentukan letak simpul ke-4 dan perut ke-3 dari titik asal getaran.

Solusi:
Untuk menentukan letak simpul dan perut kita harus menentukan panjang gelombang, λ terlebih dahulu. Untuk frekuensi f = (1)/8  Hz. Dan cepat rambat, v = 4,5 cm/s, maka
v = λf ⟺ λ = v/f = (4,5 cm/s)/(1/8 Hz) = 36 cm

Letak simpul dari ujung terikat (x = 0) merupakan kelipatan genap (2n) dari (1/4) λ
x_(n+1) = 2n(λ/4); n = 0,1,2,…
Untuk simpul ke-4, n+1 = 4 atau n = 3, sehingga
x₄ = (2)(3)(λ/4) = (3/2)λ
x₄ = 3/2 (36 cm) = 54 cm letak simpul ke-4 dari titik asal getaran O adalah
PO = L – x₄ = 100 – 54 = 46 cm
Letak perut dari ujung terikat (x = 0) merupakan kelipatan ganjil (2n + 1) dari  (1/4 )λ
x_(n+1) = (2n+1)1/4 λ; n = 0,1,2,…
Untuk perut ke-3, n + 1 = 3 atau n = 2, sehingga
x₃ = (2(2)+1) λ /4 = 5λ/4
  = 5/4 (36 cm) = 45 cm
Letak perut ke-3 dari dari titik asal getaran O adalah
PO = L - x₃ = 100 – 45 = 55 cm

Share :